[Base] Esercizi risolti – Problemi di geometria con equazioni

Ecco qui di seguito due problemi di geometria con relative soluzioni, che si risolvono facilmente con equazioni di primo e secondo grado. Questi problemi sono stati originariamente postati su yahoo answer, a questo link.

1) Un rombo ha l’area di 1200 cm2, la diagonale maggiore supera quella minore di 50 cm. Calcola la lunghezza delle due diagonali [30 cm; 80 cm]

2) I lati di un triangolo sono tali che la somma del maggiore con il minore è uguale al doppio del terzo lato e la loro differenza è uguale al terzo lato diminuito di 4 cm.
Sapendo che il perimetro è di 24 cm, calcola l’area del triangolo. [24 cm2]

Risoluzione problema 1

Definisco le due diagonali come incognite, una in funzione dell’altra:

diagonale minore = diagonale maggiore + 50

Pongo la diagonale minore = x, avremo quindi:

x = x + 50

L’area di un rombo si trova così:

area rombo = (diagonale minore ∙ diagonale maggiore)/2

Impostiamo quindi l’equazione:

1200 = [ x ∙ ( x + 50 ) ] / 2

Risolviamo:

2400 = [ x ∙ ( x + 50 ) ]

x² + 50x = 2400

x² + 50x – 2400 = 0

Utilizzo la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:

sia l’equazione x² + bx + c = 0

x =(-b ± √(b² – 4 ∙ (a ∙ c )) / ( 2 ∙ a )

Abbiamo quindi che x è uguale a:

x = (-50 ± √(50² – 4 ∙ (-2400)) / 2 = (-50 ± 110) / 2 = -25 ± 55 = { 30 , -80 }

Due sono i risultati: 30 e -80. Essendo però un problema di geometria, il valore negativo va scartato in quanto non esistono valori negativi di lunghezza. La lunghezza della diagonale minore è quindi 30, mentre la diagonale maggiore è:

diagonale maggiore = x + 50 = 30 + 50 = 80

 

Risoluzione problema 2

Sappiamo che:

  1. lato minore + lato maggiore = 2 * terzo lato   (equazione 1)
  2. lato maggiore – lato minore = terzo lato – 4   (equazione 2)
  3. perimetro = lato minore + lato maggiore + terzo lato = 24   (equazione 3)

Per risolvere il problema proseguiamo per sostituzione:

lato minore = 2*terzo lato – lato maggiore     (equazione a)

Sostituiamo alla seconda equazione:

lato maggiore – (2*terzo lato – lato maggiore) = terzo lato – 4

lato maggiore – 2*terzo lato + lato maggiore = terzo lato – 4

2*lato maggiore – 2*terzo lato – = terzo lato – 4

2*lato maggiore = 3*terzo lato – 4

lato maggiore = 3/2 terzo lato – 2     (equazione b)

Sostituiamo quindi l’equazione a e b all’equazione 3:

lato minore + lato maggiore + terzo lato = 24

(2*terzo lato – lato maggiore) + (3/2 terzo lato – 2) + terzo lato = 24

(2*terzo lato – (3/2 terzo lato – 2)) + (3/2 terzo lato – 2) + terzo lato = 24

2*terzo lato – 3/2 * terzo lato + 2 + 3/2 terzo lato – 2 + terzo lato = 24

3*terzo lato= 24

terzo lato = 8

Quindi:

lato maggiore = 3/2 terzo lato – 2 = 3/2 * 8 – 2 = 10

lato minore = 2*terzo lato – lato maggiore = 2*8 – 10 = 6

Adesso, come faccio a trovare l’area? Se si prova a rappresentare il triangolo, è evidente che esso sia rettangolo. Supportiamo la nostra tesi con il teorema di pitagora:

10² = 8² + 6²

Il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma del quadrato del lato minore con il quadrato del terzo lato, quindi il lato maggiore sarà l’ipotenusa del triangolo rettangolo. In un triangolo rettangolo, l’area corrisponde a:

A = (cateto1 * cateto2)/2 = (lato minore * lato maggiore)/2 = (6 * 8) / 2 = 24 (cm)